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    【题目】如图，在中，，为边上的中线,于点

    （1）求证：BD·AD=DE·AC.

    （2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.

    （3）在（2）的条件下，求的值.

    【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

    【解析】

    （1）先利用等腰三角形的性质证明∠B=∠C，AD⊥BC，然后再证明△BDE∽△CAD即可；

    （2）利用勾股定理求出AD，再根据（1）的结论即可求出DE；

    （3）在Rt△BDE中，利用锐角三角函数求解即可.

    解：（1）证明：∵AB=AC， AD为BC边上的中线，

    ∴∠B=∠C，AD⊥BC，即∠ADC=90°，

    又∵DE⊥AB于点E，即∠DEB=90°，

    ∴∠ADC=∠DEB，

    ∴△BDE∽△CAD，

    ∴，

    ∴BD·AD=DE·AC；

    （2）∵AD为BC边上的中线，BC=10，

    ∴BD=CD=5，

    在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，

    ∴AD= ，

    由（1）得BD·AD=DE·AC，

    又∵AC=AB= 13，

    ∴5×12=13·DE，

    ∴DE=；

    （3）由（2）知，DE=，BD=5，

    ∴在Rt△BDE中，.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表：

    等待时的频数间

    乘车等待时间

    地铁站

    5≤t≤10

    10＜t≤15

    15＜t≤20

    20＜t≤25

    25＜t≤30

    合计

    A

    50

    50

    152

    148

    100

    500

    B

    45

    215

    167

    43

    30

    500

    据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上车．（填“A”或“B”）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知抛物线y＝x2﹣mx﹣m﹣1与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C（0，﹣3）．

    （1）求点A、B的坐标；

    （2）点D是抛物线上一点，且∠ACO+∠BCD＝45°，求点D的坐标；

    （3）将抛物线向上平移m个单位，交线段BC于点M，N，若∠MON＝45°，求m的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图1，在和中，顶点是它们的公共顶点，，．

    （特例感悟）（1）当顶点与顶点重合时（如图1），与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；

    （探索论证）（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；

    （拓展应用）（3）试探究：当等于多少度时，以点为顶点的四边形是矩形？请给予证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】问题：如图1，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α．如何用直尺和圆规作出点P，均使得∠APB＝α？（不需解答）

    尝试：如图2，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．

    （1）请用直角三角尺（仅可画直角或直线）在图2中画出一个点P，使得∠APB＝45°

    （2）如图3，若AC＝BC＝，以点A为原点，直线AB为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，直线y＝（b≥0）交x轴于点M，交y轴与点N．

    ①当b＝7+时，请仅用圆规在射线MN上作出点P，使得∠APB＝45°；

    ②请直接写出射线MN上使得∠APB＝45°或∠APB＝135°时点P的个数及相应的b的取值范围；

    ③应用：如图4，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α，请用直尺和圆规作出点P，使得∠APB＝α，且AP+BP最大，请简要说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】某种商品的标价为元/件，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．

    （1）求该种商品每次降价的百分率；

    （2）若该种商品进价为元/件，两次降价共售出此种商品件，为使两次降价销售的总利润不少于元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件?

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    【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点．经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为，．且．

    （1）求反比例函数的解析式；

    （2）在直线上有一点，的面积等于．求满足条件的点的坐标；

    （3）请观察图象直接写出不等式的解集．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】（1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明作图的依据是　 　．

    （2）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，则作射线OP即为所求．由作法得△OCP≌△ODP的根据是　 　．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．

    （1）求证：∠CBP＝∠ADB；

    （2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长．

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