【题目】如图1,在和中,顶点是它们的公共顶点,,.
(特例感悟)(1)当顶点与顶点重合时(如图1),与相交于点,与相交于点,求证:四边形是菱形;
(探索论证)(2)如图2,当时,四边形是什么特殊四边形?试证明你的结论;
(拓展应用)(3)试探究:当等于多少度时,以点为顶点的四边形是矩形?请给予证明.
【答案】(1)见解析; (2)当∠GBC=30°时,四边形GCFD是正方形.证明见解析;(3)当∠GBC=120°时,以点,,,为顶点的四边形CGFD是矩形. 证明见解析.
【解析】
(1)先证明四边形是平行四边形,再通过证明得出,从而证明四边形是菱形;
(2)证法一:如图,连接交于,在上取一点,使得,通过证明,,,从而证明当∠GBC=30°时,四边形GCFD是正方形;
证法二:如图,过点G作GH⊥BC于H,通过证明OD=OC=OG=OF,GF=CD,从而证明当∠GBC=30°时,四边形GCFD是正方形;
(3)当∠GBC=120°时,点E与点A重合,通过证明,CD=GF,,从而证明四边形是矩形.
(1) ,,
四边形是平行四边形,
在和中,
,
,
四边形是菱形.
(2)当∠GBC=30°时,四边形GCFD是正方形.
证法一:如图,连接交于,在上取一点,使得,
,,
,
,
,
,.
,,,
,
,
,
,
,
设,则,,
在Rt△BGK中,,解得,
,,
,
,
,
,,
四边形是平行四边形,
,
四边形是矩形,
,
四边形是正方形.
证法二:如图
∵,
.
又,
,
,.
过点G作GH⊥BC于H,
在Rt△BHG中,
∵,
∴GH=BG=+1,BH=GH=3+,
∴HC=BC﹣BH=2+2-(3+)=-1,
∴GC=,
∴OG=OC===2,
∴OD=OF=4-2=2,
∴OD=OC=OG=OF,
四边形是矩形,
∵GF=CD,
四边形是正方形.
(3) 当∠GBC=120°时,以点,,,为顶点的四边形CGFD是矩形.
当∠GBC=120°时,点E与点A重合.
,
∴,
.
∵四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形,
∴,,AB=CD,AB=GF,
∴,CD=GF,
四边形是平行四边形.
∵,
四边形是矩形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C的长为______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元,
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图所示,其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米,山顶B处的海拔高度约为1400米,由B处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°,若在A、C两地间打通一隧道,求隧道最短为多少米(结果取整数,参考数据≈1.732)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,反比例函数的图象经过点,直线与双曲线交于另一点,作轴于点,轴于点,连接.
(1)求的值;
(2)若,求直线的解析式;
(3)若,其它条件不变,直接写出与的位置关系.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】操作、证明:如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,以点C为圆心BC为半径画弧,交△ABC的外接圆O于点E,连接AE、CE.
(1)求证:AD=CE,∠D=∠E.
(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.
(3)判断:“一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形”是 命题(填“真”或“假”).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在中,,为边上的中线,于点
(1)求证:BD·AD=DE·AC.
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
(3)在(2)的条件下,求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平行四边形中,,,,点E在AD上,且AE=4,点是AB上一点,连接EF,将线段EF 绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接DG,则线段DG的最小值为____________________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,甲分为三等分数字转盘,乙为四等分数字转盘,自由转动转盘.
(1)转动甲转盘,指针指向的数字小于3的概率是 ;
(2)同时自由转动两个转盘,用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com