Question

【题目】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．

（1）几秒后P、Q两点相距25cm？
（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？
（3）设△CPQ的面积为S1 ， △ABC的面积为S2 ， 在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x秒后P、Q两点相距25cm，

则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

则10秒后P、Q两点相距25cm；

（2）解：设y秒后△PCQ与△ABC相似，

当△PCQ∽△ACB时， = ，即 = ，

解得，y= ，

当△PCQ∽△BCA时， = ，即 = ，

解得，y= ，

故 秒或 秒后△PCQ与△ABC相似；

（3）解：△CPQ的面积为S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面积为S2= ×AC×BC=375，

由题意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5．

【解析】（1）设时间为x秒，由路程=速度×时间，易得CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，再利用勾股定理列方程求得10秒后P、Q两点相距25cm。
（2）本题由于没有直接说明对应顶点，所以一定要考虑两种情况，再由相似三角形对应边的比相等，可得若当△PCQ∽△ACB时或者当△PCQ∽△BCA时对应边的比相等，可计算出故 秒或 秒后△PCQ与△ABC相似两种情况；
（3）由（1）中CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，根据三角形面积公式可得△CPQ的面积为S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面积为S2= ×AC×BC=375，又S1：S2=2：5解得运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5。

【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．