Question

 

.如图，已知二次函数                的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC.

（1）请直接写出二次函数                的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标.

 

  

Answer 1

解：（1）抛物线表达式： ………2分

（2）△ABC是直角三角形   ……………………3分

令y=0，则解得，x₁=8，x₂=-2

∴点B的坐标为（-2，0）    …………………4分

由已知可得，

在Rt△ABO中AB­­­­²=BO²+AO²=2²+4²=20

在Rt△AOC中AC­­­­²=AO²+CO²=4²+8²=80

又∵BC=OB+OC=2+8=10

∴在△ABC中AB­­­­²+ AC­­­­²=20+80=10²=BC²

∴△ABC是直角三角形       …………………6分

（3）坐标分别为（-8，0）、（8-，0）、（3，0）、（8+，0）……………10分

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，…11分

∴MD∥OA

∴△BMD∽△BAO

∴

∵MN∥AC

∴

∴

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=

∵S_△AMN= S_△ABN- S_△BMN

      =

=                   ……………………13分

         ∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）