Question

在△ABC中，已知∠A=60°，∠C=75°，AB=10，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，则△DEF周长的最小值

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：根据题意得：当△DEF为△ABC垂足三角形时，周长最小，如图所示，得到DA平分∠FDE，EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，作D关于AB的对称点D′，作D关于AC的对称点D″，则D′、F、E、D″四点共线，△DEF的周长DE+EF+FD=D″E+EF+FD′=D′D″，延长D′D″交BC延长线于点K，则有∠BD′K=60°，∠DEK=90°，∠K=30°，求出D′K=2BD′=10

2

，DK=BK-

3

BD=5

6

-5

2

，由D″K=EK-ED″=EK-ED，求出D″K的长，根据D′K-D″K求出D′D″的长，即为△DEF周长的最小值．

解答：解：根据题意得：当△DEF为△ABC垂足三角形时，周长最小，
此时DA平分∠FDE，EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，
如图，作D关于AB的对称点D′，作D关于AC的对称点D″，则D′、F、E、D″四点共线，
△DEF的周长DE+EF+FD=D″E+EF+FD′=D′D″，
延长D′D″交BC延长线于点K，则有∠BD′K=60°，∠DEK=90°，∠K=30°，
∵BD′=BD=

2

2

AB=5

2

，
∴D′K=2BD′=10

2

，DK=BK-

3

BD=BD′-

2

2

AB=5

6

-5

2

，
∴D″K=EK-ED″=EK-ED=

3

2

DK-

1

2

DK=

2

3

（5

6

-5

2

）-

1

2

（5

6

-5

2

）=10

2

-5

6

，
则D′D″=D′K-D″K=10

2

-（10

2

-5

6

）=5

6

，即△DEF周长的最小值为5

6

．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，其理论依据是三角形的两边之和大于第三边，作出对称点是解题的关键．