Question

如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，请问BF和AF之间存在怎样的数量关系？并请证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：由直角三角形的性质可得BF²=FC•AF，CF²=EF•BF，两式可以推出BF与EF、AF的关系，然后代入EF与BF的关系式即可得证．

解答：解：∵BE⊥AC，∠ABC=∠AFB=90°，
∴△CFB∽△BFA，△CFE∽△BFC．
∴BF²=FC•AF，CF²=EF•BF．
∴BF²=

EF•BF

•AF．
即BF³=EF•AF²．
∵AB∥CD，E恰好是CD的中点，
∴CE：AB=EF：FB．
∴EF=

1

2

BF．
∴BF²=

1

2

AF²．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质，关键是通过三角形相似得到对应线段的比相等，从而解决问题．