Question

4．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：等边三角形；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于$\widehat{AB}$的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为$\widehat{AB}$的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．

解答 证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是$\widehat{BC}$所对的圆周角，∠ABC与∠APC是$\widehat{AC}$所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为$\widehat{AB}$的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴S_{四边形APBC}=$\frac{1}{2}$AB•（PE+CF），
当点P为$\widehat{AB}$的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形APBC}=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．