Question

9．如图，抛物线y=x²-4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；
（2）若两个三角形面积满足S_△POQ=$\frac{1}{3}$S_△PAQ，求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；
（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；
（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=$\sqrt{2}$PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6$\sqrt{2}$，设PD=a，则DQ$≤6\sqrt{2}$-a，得出PD•DQ≤a（6$\sqrt{2}$-a）=-a²+6$\sqrt{2}$a=-（a-3$\sqrt{2}$）²+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3$\sqrt{2}$，得出PD•DQ≤18．

解答 方法一：
解：（1）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴抛物线的对称轴是x=2，
∵直线y=x+m，
∴直线与坐标轴的交点坐标为（-m，0），（0，m），
∴交点到原点的距离相等，
∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=2、45°．
（2）如图

设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S_△POQ=$\frac{1}{3}$S_△PAQ不成立；
①当点B落在线段OA上时，如图①，
$\frac{{S}_{△POQ}}{{S}_{△PAQ}}$=$\frac{OE}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
由△OBE∽△ABF得，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{OE}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=3OB，
∴OB=$\frac{1}{4}$OA，
由y=x²-4x得点A（4，0），
∴OB=1，
∴B（1，0），
∴1+m=0，
∴m=-1；
②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴B（-2，0），
∴-2+m=0，
∴m=2，
综上，当m=-1或2时，S_△POQ=$\frac{1}{3}$S_△PAQ；
（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，
∵∠CDQ=45°+45°=90°，
∴AD⊥PH，
∴DQ=DH，
∴PD+DQ=PH，
过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，
∴PH=$\sqrt{2}$PM，
∴当PM最大时，PH最大，
∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，
∴PH的最大值为6$\sqrt{2}$，
即PD+DQ的最大值为6$\sqrt{2}$．
②由①可知：PD+DQ≤6$\sqrt{2}$，
设PD=a，则DQ$≤6\sqrt{2}$-a，
∴PD•DQ≤a（6$\sqrt{2}$-a）=-a²+6$\sqrt{2}$a=-（a-3$\sqrt{2}$）²+18，
∵当点P在抛物线的顶点时，a=3$\sqrt{2}$，
∴PD•DQ≤18．
∴PD•DQ的最大值为18．
方法二：
（1）略．
（2）过点A作x轴垂线，与直线PQ交于点D，设直线PQ与y轴交于点C，
∴C（0，m），D（4，4+m），
∵S_△POQ=$\frac{1}{2}$（Q_x-P_x）（Q_Y-C_Y），
S_△PAQ=$\frac{1}{2}$（Q_x-P_x）（D_Y-A_Y），
∵$\frac{{S}_{△POQ}}{{S}_{△PAQ}}=\frac{1}{3}$，
∴$|\frac{{O}_{Y}-{C}_{Y}}{{D}_{Y}-{A}_{Y}}|=|\frac{0-m}{4+m}|=\frac{1}{3}$，
∴m₁=2，m₂=-1．

（3）①设P（t，t²-4t）（0＜t＜4），
∵K_PQ=1，∴l_PQ：y=x+t²-5t，
∵C（2，2），A（4，0），
∴l_AC：y=-x+4，
∴D_X=$\frac{-{t}^{2}+5t+4}{2}$，DY=$\frac{{t}^{2}-5t+4}{2}$，
∴Q（2，t²-5t+2），
∵PQ⊥AC，垂足为点D，
∴点Q关于直线AC的对称点Q′（-t²+5t+2，2），
欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，
PQ′=$\sqrt{（{t}^{2}-4t-2）^{2}+（{t}^{2}-4t-2）^{2}}$=$\sqrt{2}|{t}^{2}-4t-2|$，
显然当t=2时，PQ′的最大值为6$\sqrt{2}$，
即PD+DQ的最大值为6$\sqrt{2}$，
②∵（PD+DQ）2≥4•PD•DQ，
∴PD•DQ≤$（\frac{PD+DQ}{2}）^{2}$=$（\frac{6\sqrt{2}}{2}）^{2}$=18，
∴PD•DQ的最大值为18．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大．