Question

20．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．

Answer 1

分析 （1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC为60°，即可得△BEC是等边三角形，求得BE=BC=CE=6，再过点E作EG⊥BC于点G，求的高EG的长，即可求得答案．

解答 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE=BC=CE=6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG=BE•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_菱形BCFE=BC•EG=6×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．注意证得△BEC是等边三角形是关键．