Question

如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）

• A、4

  2

• B、2

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,圆周角定理

专题：

分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AON=2∠AMN，再求出∠NOB′，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．

解答：解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，
由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠NOB′=

1

2

×60°=30°，
∴∠AOB′=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴AB′=2

2

，
即PA+PB的最小值为为2

2

．
故选B．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，熟记定理以及最短路线的确定方法是解题的关键．