Question

如图，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4

3

．将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，则整个旋转过程中△ACE的最大面积为

 

．

Answer 1

考点：相似多边形的性质,旋转的性质

专题：

分析：先根据相似多边形对应边的比相等的性质求出OF=

3

，OD=1，由勾股定理得到OE=

OF2+OD2

=2，将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，再利用三角形的面积公式求解即可．

解答：解：∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4

3

，
∴OF=

3

，OD=1，
∴OE=

OF2+OD2

=

( 3 )2+12

=2，
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=

AB2+BC2

=

42+(4 3 )2

=8，
∴8h=4×4

3

，
解得h=2

3

，
∴当点E到AC的距离为2

3

+2时，△ACE的面积有最大值，
S_最大=

1

2

×8（2

3

+2）=8

3

+8．
故答案为8

3

+8．

点评：本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键．