Question

如图四边形ABCD中，
已知：①AB=CD，②∠BAC=∠DCA，③AD∥BC，④∠CAD=∠ACB．
请结合图形解答下列两个问题：
（1）用①、②作为条件证明四边形ABCD是平行四边形．
（2）用①、③作为条件，四边形ABCD为平行四边形是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请举反例．

Answer 1

分析：（1）首先证明△ABC≌△CDA可得到AD=CB，再有条件AB=CD，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出结论；
（2）用①、③作为条件，四边形ABCD为平行四边形不成立，也可能是等腰梯形．

解答：（1）证明：在△ABC和△CDA中

AB=CD ∠BAC=∠ACD AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴AD=CB，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）用①、③作为条件，四边形ABCD为平行四边形不成立，
例如等腰梯形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．