Question

9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0）、点B（3，0）、点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AC、CD、BD，试比较∠BCA与∠BDC的大小，并说明理由；
（3）若在x轴上有一动点M，在抛物线y=ax²+bx+c上有一动点N，则M、N、B、C四点是否能构成平行四边形？若存在，请求出所有适合的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后转化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）连结BC，根据点A（-1，0），C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）的坐标，根据勾股定理求得CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，CB=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，因为OA=1，OC=3，所以$\frac{CD}{OA}$=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{BD}{AC}$=$\sqrt{2}$，根据三角形相似的判定即可得出△CDB∽△OAC，从而求得∠BAC=∠BDC，然后根据勾股定理求得BC=3$\sqrt{2}$，AB=4，得出∠BCA＜∠BAC，进而得出∠BCA＜∠BDC．
（3）设点M的坐标为（t，0），若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能，分别讨论即可求得M的坐标．

解答 解：（1）如图1，

∵点A、B、C在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴此抛物线为：y=-x²+2x+3；
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）． 
（2）连接BC，如图2，

由点C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）
可得CD=$\sqrt{（0-1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
由点C（0，3）、A（-1，0），可得AC=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{BD}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∴△CDB∽△OAC，
∴∠BAC=∠BDC．
∵BC=3$\sqrt{2}$，AB=4，
∴BC＞AB，
∴∠BCA＜∠BAC，
∴∠BCA＜∠BDC．
（3）设点M的坐标为（t，0）
则由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）如图3，
若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能，
分别是（3-t，3），（t-3，3），（t+3，-3），
∵点N在抛物线y=-x²+2x+3上
把（3-t，3）代入得，3=-（3-t）²+2（3-t）+3，
解得t=1或t=3（点M与点B重合，舍去）；
把（t-3，3）代入得，3=-（t-3）²+2（t-3）+3，
解得t=5或t=3（点M与点B重合，舍去）；
把（t+3，-3）代入得，-3=-（t+3）²+2（t+3）+3，
解得t=-2+$\sqrt{7}$或t=-2-$\sqrt{7}$．
综上可知，M的坐标为（1，0）、（5，0）、（-2+$\sqrt{7}$，0）、（-2-$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键．