Question

【题目】如图1，AB是O的直径，点C在O上，且点C为弧BE的中点，连接AE并延长交BC延长线于点D.

(1)判断△ABD的形状，并说明理由；

(2)过点C作CM⊥AD，垂足为点F，如图2.求证：CF是O的切线；

(3)若O的半径为3，DF=1，求sinB的值。

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）见解析

(3)

【解析】

（1）如图1，连接AC，由AB是 O的直径，得到AC⊥BD，根据BC的弧=CE的弧，得到∠BAC=∠DAC，求得AB=AD；

（2）如图2，连接AC，OC，证明过半径的外端点垂直于这条半径的直线是圆的切线；

（3）由相似三角形求得BC，根据勾股定理得到AC，求得∠B的正弦．

(1)如图1，连接AC，

∵AB是O的直径，

∴∠ACB=90

∴AC⊥BD，

∵BC的弧=CE的弧

∴∠BAC=∠DAC，

∴AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

(2)如图2连接AC，OC，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵∠2=∠1，

∴∠2=∠3，

∵CF⊥AD，

∴∠AFC=90，

∴∠2+∠ACF=90

∴∠3+∠ACF=90

∴AC⊥CF，

∴CF是O的切线；

(3)∵∠ACB=∠CFD=90，

∠B=∠D，

∴△ABC∽△CDF，

∴ ，

∴

∴BC=CD= ，

∴AC= ，

∴sinB=