Question

【题目】如图，在中，，.点是线段上的一点，连结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结.给出以下四个结论：①；②若点是的中点，则；③当、、、四点在同一个圆上时，；④若，则.其中正确的结论序号是（ ）

A. ①②B. ①②③C. ③④D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

(1)由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；

(2)先证明△ABG≌△BCD（ASA），得到AG＝BD，再通过点是的中点，利用（1）中得到的，得到，在Rt△ABC中，可得AC=AB，即可得到AF＝AB，故结论②正确；

（3）当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠2＝∠ACB由于∠ABC＝90°，AB＝BC，得到∠ACB＝∠CAB＝45°，于是得到∠CFD＝∠AFD＝90°，根据垂径定理得到DF＝DB，故③正确；

（4）因为＝，所以AF＝AC ，，所以S△ABF＝S△ABC，又S△BDF＝S△ABF，所以S△ABC＝12S△BDF，由此确定结论④错误．

解：

(1)∵，

∴BC∥AG，

∴∠G=∠FBC

∠GAF=∠FCB

∴△AFG∽△BFC，

∴，

又AB＝BC，

∴．

故结论①正确；

(2)如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，

∴∠3＝∠4．

在△ABG与△BCD中，

∴△ABG≌△BCD（ASA），

∴AG＝BD，

∵点是的中点，

∴AG＝BD=AB=BC

∴

∴

∵在Rt△ABC中，AB=BC

∴AC=AB

∴AF＝AB

故结论②正确；

（3）当B、C、F、D四点在同一个圆上时，

∴∠2＝∠ACB，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝∠CAB＝45°，

∴∠2＝45°，

∴∠CFD＝∠AFD＝90°，

∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，

∵BG⊥CD，

∴DF与BD对应的弧相等，

∴DF＝DB，故③正确；

(4)∵，AG＝BD，，

∴，

∴

∴AF＝AC，

∴S△ABF＝S△ABC，

∴S△BDF＝S△ABF，

∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．

故结论④错误；

正确的是①②③，故选：B．