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【题目】如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;

(2)求这条抛物线的解析式;

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?

【答案】(1)M(12,0),P(6,6).(2)y=﹣x2+2x.(3)当m=3米时,AD+DC+CB有最大值为15米.

【解析】

试题分析:(1)根据所建坐标系易求M、P的坐标;

(2)可设解析式为顶点式,把O点(或M点)坐标代入求待定系数求出解析式;

(3)总长由三部分组成,根据它们之间的关系可设A点坐标为(m,0),用含m的式子表示三段的长,再求其和的表达式,运用函数性质求解.

解:(1)M(12,0),P(6,6).(2分)

(2)设抛物线解析式为:

y=a(x﹣6)2+6 (3分)

抛物线y=a(x﹣6)2+6经过点(0,0)

0=a(0﹣6)2+6,即a=﹣(4分)

抛物线解析式为:y=﹣(x﹣6)2+6,即y=﹣x2+2x.(5分)

(3)设A(m,0),则B(12﹣m,0),C(12﹣m,﹣m2+2m)

D(m,﹣m2+2m).(6分)

支撑架”总长AD+DC+CB=(﹣m2+2m)+(12﹣2m)+(﹣m2+2m)

=﹣m2+2m+12

=﹣(m﹣3)2+15.(8分)

此二次函数的图象开口向下.

当m=3米时,AD+DC+CB有最大值为15米.(9分)

练习册系列答案
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A. B.

C. D.

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