Question

【题目】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）M（12，0），P（6，6）．（2）y=﹣x2+2x．（3）当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．

【解析】

试题分析：（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；

（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；

（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．

解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）

（2）设抛物线解析式为：

y=a（x﹣6）2+6 （3分）

∵抛物线y=a（x﹣6）2+6经过点（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣（4分）

∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．（5分）

（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）

D（m，﹣m2+2m）．（6分）

∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）

=﹣m2+2m+12

=﹣（m﹣3）2+15．（8分）

∵此二次函数的图象开口向下．

∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．（9分）