Question

【题目】如图，已知等边△ABC，以AB为直径的圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，若AB＝12．

①求FG的长；

②求点D到FG的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△CDF是30°的直角三角形可求得CF长，同理可利用△FGA中的60°的三角函数值可求得FG长．
（3）过D作DH⊥AB于H．利用△BDH是30°的直角三角形可求得BH长，同理可求得AG，然后根据GH=AB-AG-BH求得即可

解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∠OBD＝60°，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠ODB＝∠C＝60°，

∴OD∥AC，

又∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）由（1）得：OD∥AC，∵O为AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴CD＝BD＝AB＝6，

∴DF＝CD·sin60°＝，

CF＝CD·cos60°＝3，

∴AF＝AC－CF＝9，

∴FG＝AF·sin60°＝；

（3）如图2，过D作DH⊥AB于H．

∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=AF=，
∵GH=AB-AG-BH=12--3=，

FG⊥AB，∴点D到FG的距离是.