Question

【题目】在中，,以AC为直径的半圆O交于点D，过点D作圆O的切线，交BC于点E，点F是半圆上异于点D的任一动点．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，则四边形的面积为________；

②当的度数是_______时，以为顶点的四边形为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②30°或60°．

【解析】

（1）连接OD，证明，得，利用外角和定理得，可得，证得平行；

（2）①连接CD，证明，求出AC，用勾股定理求出CD，结合，E为中点，四边形在BD上的高为CD的一半，可求出面积；

②分为点F在和上，根据菱形的性质结合圆的特点，分类讨论即可．

（1）连接DO，则

因为DE是圆的切线,所以

(2) ①连接CD，如图所示：

∵AC为直径

∴°

∵且

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵且E为中点

∴

故答案为：

②若点F在上时，如图所示：

∵AODF为菱形

∴AF=AO

∵AO=OF

∴为等边三角形

∴

∴

∴

若点F在上，作图如下：

∵AODF为菱形

∴AD=AO

∵AO=OD

∴为等边三角形

∴

∴

故答案为：30°或60°