Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________．

（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：

M的坐标	…					…
P的坐标	…					…

猜想：

（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．

验证：

（4）设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点，，求点D的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）

【解析】

（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；

（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；

（3）用平滑的曲线作出图象，即可；

（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得到答案；

（5）连接，由题意得当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°，的外接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解．

解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

（2）

M的坐标	…					…
P的坐标	…					…

（3）草图见图2：形状：抛物线

（4）如图1，过点P作轴于点E，

，，

在中，

即

化简，得

∴y关于x的函数解析式为．

（5）连接，易得，又

∴为等边三角形，∴

当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°

其圆心在的垂直平分线y轴上，

∴的外接圆圆心为坐标原点O，

设，则，即 ①

又点D在该抛物线上

∴ ②

由①②联立解得：（舍去）

数形结合可得，

当时，点D的纵坐标的取值范围为