Question

【题目】阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）1；（3）见解析

【解析】

（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；

（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．

解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，

∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，

∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，

∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；

（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，

∴，

解得：，

∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．

（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，

∴点C的坐标为（0，﹣6）．

当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．

∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，

∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．

设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，

解得：a＝﹣2，

过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．

∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，

∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，

∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．