Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=6，BC=6，点P是AB上一个动点，则PC+PD的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．

解答： 1解：延长CB到C′，使C′B=CB=6，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BC，
∴∠A=∠PBC′，∠ADP=∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP=AD：BC′=2：6=1：3，
∴PB=3AP，
∵AP+BP=AB=6，
∴AP=

3

2

，BP=

9

2

，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

2

，PC′=

PB2+BC′2

=

15

2

，
∴DC′=PD+PC′=

5

2

+

15

2

=10，
∴PC+PD的最小值是10，
故答案为10．

点评：此题考查了轴对称的性质、勾股定理的运用及相似三角形的判定和性质，解题时要注意找到对称点，并根据“两点之间线段最短”确定P点的位置．