【题目】如图,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6.P是底边BC上的一个动点(P与B、C不重合),以P为圆心,PB为半径的⊙P与射线BA交于点D,射线PD交射线CA于点E.
(1)若点E在线段CA的延长线上,设BP=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当BP=2 时,试说明射线CA与⊙P是否相切.
(3)连接PA,若S△APE= S△ABC , 求BP的长.
【答案】
(1)解:过A作AF⊥BC于F,过P作PH⊥AB于H,
∵∠BAC=120°,AB=AC=6,
∴∠B=∠C=30°,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠B=30°,CF=ACcos30°=6× =3 ,
∴∠ADE=30°,
∴∠DAE=∠CPE=60°,
∴∠CEP=90°,
∴CE=AC+AE=6+y,
∴PC= = ,
∵BC=6 ,
∴PB+CP=x+ =6 ,
∴y=﹣ x+3,
∵BD=2BH= x<6,
∴x<2 ,
∴x的取值范围是0<x<2
(2)解:∵BP=2 ,∴CP=4 ,
∴PE= PC=2 =PB,
∴射线CA与⊙P相切
(3)解:当D点在线段BA上时,
连接AP,
∵S△ABC= BCAF= ×6 ×3=9 ,
∵S△APE= AEPE= y ×(6+y)= S△ABC= ,
解得:y= ,代入y=﹣ x+3得x=4 ﹣ .
当D点BA延长线上时,
PC= EC= (6﹣y),
∴PB+CP=x+ (6﹣y)=6 ,
∴y= x﹣3,
∵∠PEC=90°,
∴PE= = = (6﹣y),
∴S△APE= AEPE= x= y (6﹣y)= S△ABC= ,
解得y= 或 ,代入y= x﹣3得x=3 或5 .
综上可得,BP的长为4 ﹣ 或3 或5 .
【解析】(1)过A作AF⊥BC于F,过P作PH⊥AB于H,根据等腰三角形的性质得到CF=ACcos30°=6× =3 ,推出∠CEP=90°,求得CE=AC+AE=6+y,列方程PB+CP=x+ =6 ,于是得到y=﹣ x+3,根据BD=2BH= x<6,即可得到结论;(2)根据已知条件得到PE= PC=2 =PB,于是得到射线CA与⊙P相切;(3)D在线段BA上和延长线上两种情况,根据三角形的面积列方程即可得到结果.本题考查了直线与圆的位置关系,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,三角形面积的计算,求一次函数的解析式,证得PE⊥AC是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )
A.6
B.2 +1
C.9
D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ= ,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,长方形的两边长分别为m+3,m+13;如图2的长方形的两边长分别为m+5,m+7.(其中m为正整数)
(1)写出两个长方形的面积S1,S2,并比较S1,S2的大小;
(2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等.试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数,如果是,求出这个常数;如果不是,说明理由.
(3)在(1)的条件下,若某个图形的面积介于S1,S2之间(不包括S1,S2)且面积为整数,这样的整数值有且只有19个,求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐锐通关的概率是 .
(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐锐通关的概率是 .
(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”,请用树状图或者列表来分析他顺序通关的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)感知:如图①.AB=AD,AB⊥AD,BF⊥AF于点F,DG⊥AF于点G.求证:△ADG≌△BAF;
(2)拓展:如图②,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN在内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角,已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)应用:如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点在D边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为12,则△ABE与△CDF的面积之和为 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com