Question

【题目】对任意一个四位正整数数m，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m为“重九数”，如：1827、3663．将“重九数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n，如：m＝2718，则n＝1827，记D（m，n）＝m+n．

（1）请写出两个四位“重九数”：　 　，　 　．

（2）求证：对于任意一个四位“重九数”m，其D（m，n）可被101整除．

（3）对于任意一个四位“重九数”m，记f（m，n）＝，当f（m，n）是一个完全平方数时，且满足m＞n，求满足条件的m的值．

Answer 1

【答案】（1）3645，7263；（2）见解析；（3）9054、8163、6318、5427、4536

【解析】

（1）根据“重九数“定义写出两个符合要求的数即可；

（2）将m的各个数位上的数字用字母表示，得出D（m，n）的表达式，一定有因数101；

（3）先得出f（m，n）的表达式，再根据完全平方数的特征得出不定方程，解不定方程即可求出m的值．

解：（1）根据“重九数“定义写出两个符合要求的数即可，3645，7263，（答案不唯一，符合题意即可），

故答案为：3645，7263；

（2）证明：设任意一个“重九数“m为，（a，b，c，d均为1～9的自然数），则n为，

∴D（m，n）＝m+n＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝101（10a+10c+b+d），

∴D（m，n）可被101整除；

（3）由（2）可知，对于任意的“重九数“m＝，有D（m，n）＝101（10a+10c+b+d），

∴f（m，n）＝10a+10c+b+d，

∵a+b＝9，c+d＝9，

∴b＝9﹣a，d＝9﹣c，

∴f（m，n）＝10a+10c+b+d＝10a+10c+9﹣a+9﹣c＝9a+9c+18＝9（a+c+2），

∵f（m，n）是完全平方数，9是完全平方数，

∴a+c+2是完全平方数，

∵1≤a≤9，1≤c≤9，且m＞n，

∴a＞c，5≤a+c+2≤19，

∴a+c+2＝9或16，

当a+c+2＝9时，解得或或．

当a+c+2＝16时，解得或．

综上所述，满足要求的m的值有：9054、8163、6318、5427、4536．