Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．

（1）若AE＝DA，求证：△ABE≌△DFA．

（2）若AB＝6，AD＝8，且E为BC中点．

①如图2，连接CF，求sin∠DCF的值．

②如图3，连接AC交DF于点M，求CM：AM的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②

【解析】

（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）①如图2中，过点F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．利用相似三角形的性质求出AF，DF，解直角三角形求出FJ，DJ，CH，FH即可解决问题；
②如图3中，延长DF交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠DAF＝∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠B＝∠AFD＝90°，

在△ABE和△DFA中

，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

（2）①解：如图2中，过点F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．

∵四边形ABCD是矩形，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，

∴∠B＝90°，

∵BE＝EC＝4，

∴AE＝＝＝2，

∵∠DAF＝∠AEB，∠B＝∠AFD＝90°，

∴△ABE∽△DFA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴DF＝，AF＝，

∵FJ⊥AD，

∴FJ＝DH＝＝，DJ＝FH＝＝＝，

∴CH＝CD﹣DH＝6﹣＝，

∴CF＝＝＝6，

∴sin∠DCF＝＝＝．

②解：如图3中，延长DF交CB的延长线于K．

∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，

∴△KEF∽△AEB，

∴＝，

∴＝，

∴KE＝5，

∴CK＝KE+EC＝9，

∵AD∥CK，

∴＝＝．