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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点和点,与轴交于点

1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;

2)若向下平移抛物线,使顶点落在轴上,原来的抛物线上的点平移后的对应点为.若,求点的坐标;

3)在抛物线上是否存在点使的面积是面积的一半?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1,顶点的坐标为;(2)点的坐标为;(3)存在,点的坐标为

【解析】

1)把AB两点坐标分别代入直线中求出mn值,可得A20),B-2-4),代入求出ab的值,可得抛物线解析式,通过配方可得顶点D的坐标;

2)先求出图象向下平移的距离,再设点的坐标为,可得点的坐标为,根据轴可得点与点关于轴对称,列出方程求解即可;

(3)首先求出直线y=x-2与y轴的交点E的坐标,抛物线与y轴的交点C的坐标,得O是CE的中点,过点于点,连接,易证要使的面积是面积的一半,则点在过点且平行于直线的直线上.因此,过点交抛物线于点,联立方程组求解即可;同理,在直线AB的下方也存在两点,方法同上.

将点代入直线中,

.

的坐标为

将点代入直线

.

的坐标为.

把点代入抛物线中,

解得

抛物线的解析式为.

.

顶点的坐标为

设点的坐标为

向下平移后点落在轴上.

抛物线向下平移了个单位长度,

则点的坐标为

,且轴.

与点关于轴对称

的坐标为

存在,设直线轴交于点.

代入中,

.

的坐标为

代入中,

的坐标为

即点是线段的中点.

过点于点,连接,如解图所示.

OC=2OA=2

CA=

OE=2

AE=CE=4

CA2+AE2=OE2

要使的面积是面积的一半,

则点在过点且平行于直线的直线上.

在抛物线上,

为直线与抛物线的交点.

过点交抛物线于点,如解图所示,

易得直线的解析式为.

联立

解得

作点关于点的对称点

过点交抛物线于点,如解图所示,

则点的坐标为

易得直线的解析式为.

同理,可知

综上所述,点的坐标为

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