【题目】如图,AC是ABCD的对角线,∠BAC=90°,ABC的边AB,AC,BC的长是三个连续偶数,E,F分别是边AB,BC上的动点,且EF⊥BC,将BEF沿着EF折叠得到PEF,连接AP,DP.若APD为直角三角形时,BF的长为_____.
【答案】或
【解析】
设直角三角形ABC的三边长分别为x﹣2、x、x+2,利用勾股定理可得(x+2)2=x2+(x﹣2)2,解方程即可求出三边长为6,8,10.分三种情况:①当∠PAD=90°,由平行四边形的性质得出CD=AB=6,AD=BC=10,AD∥BC,证明△ABP∽△CBA,求出BP=,由轴对称的性质即可得出结果;②∠APD=90°,当点P与C重合时,得出该情况不成立;③当点P与C不重合时,∠APD=90°,作AG⊥BC于G,则EF与AG重合,BF=.
解:设直角三角形ABC的三边长分别为x﹣2、x、x+2,根据题意得:
(x+2)2=x2+(x﹣2)2,
解得x1=0(舍去),x2=8.
所以斜边长BC为x+2=10.
∴AB=6,AC=8,
分三种情况:
①当∠PAD=90°,如图1所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=6,AD=BC=10,AD∥BC,
∴∠APB=∠PAD=90°,
∵∠B=∠B,
∴△ABP∽△CBA,
∴,即,
解得:BP=,
∵EF⊥BC,△BEF与△PEF关于直线EF对称,
∴BF=PF=BP=;
②当∠APD=90°时,点P与C重合时,如图2所示:
∵AB∥CD,
∴∠APD=∠ACD=∠BAC=90°,
∵E在AB上,E和A重合,而AB≠AC,
则△BEF与△PEF关于直线EF不对称,
∴该情况不存在;
③当点P与C不重合时,∠APD=90°,如图3所示:
作AG⊥BC于G,则EF与AG重合,BF=;
综上所述,若△APD是直角三角形,则BF的长为或;
故答案为:或.
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【题目】把一枚木质中国象棋子“兵”从一定高度落下,落地后“兵”字面可能朝上,也可能朝下.为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷实验数据如下表:
实验次数 | 20 | 60 | 100 | 120 | 140 | 160 | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
“兵”字面朝上次数 | 14 | 38 | 52 | 66 | 78 | 88 | 280 | 550 | 1100 | 2750 |
“兵”字面朝上频率 | 0.7 | 0.63 | 0.52 | 0.55 | 0.56 | 0.55 | 0.56 | 0.55 | 0.55 | 0.55 |
下面有三个推断:①投掷1000次时,“兵”字面朝上的次数是550,所以“兵”字面朝上的概率是0.55;②随着实验次数的增加,“兵”字面朝上的频率总在0.55附近,显示出一定的稳定性,可以估计“兵”字面上的概率是0.55;③当实验次数为200次时,“兵”字面朝上的频率一定是0.55.其中合理的是______.(填序号①、②、③)
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【题目】某校为了解学生每周参加家务劳动的情况,随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间.根据调查结果,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的学生人数为___________,,图①中m的值为_________;
(2)求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数;
(3)根据统计的这组每周参加家务劳动时间的样本数据,若该校共有800名学生,估计该校每周参加家务劳动的时间大于的学生人数.
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【题目】如图,已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为.
(1)求二次函数的解析式及点B的坐标;
(2)由图象写出满足的自变量x的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D,过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E,连接AD,BD.
(1)由AB,BD,围成的曲边三角形的面积是 ;
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)求线段DE的长.
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【题目】河南灵宝苹果为中华苹果之翘楚,被誉为“中华名果”.某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果.已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元,且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元.
(1)求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元?
(2)如果购进红富士苹果有优惠,优惠方案是:购进红富士苹果超过20箱,超出部分可以享受七折优惠.若购进(,且为整数)箱红富士苹果需要花费元,求与之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,超市决定在红富士、新红星两种苹果中选购其中一种,且数量超过20箱,请你帮助超市选择购进哪种苹果更省钱.
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【题目】同学:你去过黄山吗?在黄山的上山路上,有一些断断续续的台阶,如图8是其中的甲、乙段台阶路的示意图,图8中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数d,e,e,c,c,d的方差p,数据b,d,g,f,a,h的方差q,(10cmabcdefgh20cm,且 pq),请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题:
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?
(2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么?
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,E是边BC上一点,连接AE,过点D作DF⊥AE于点F.
(1)若AE=DA,求证:△ABE≌△DFA.
(2)若AB=6,AD=8,且E为BC中点.
①如图2,连接CF,求sin∠DCF的值.
②如图3,连接AC交DF于点M,求CM:AM的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,以B为圆心,任意长为半径画弧分别交BA、BC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP并延长交AC于点D,若△BDC的面积为20,则△ABD的面积为( )
A.20B.18C.16D.12
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