Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为．

（1）求二次函数的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，），P2（，0）．

【解析】

（1）将A点坐标代入y1，可得抛物线的解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；

（2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解集，观察图象可得到答案；

（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上．

解：（1）将A点坐标代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，

∴二次函数的解析式为，

∵当x=0时，=3，

∴B点坐标为（0，3）；

（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，

∴x＜0或x＞4时，；

（3）存在，解答如下：

根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C，

∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解解析式为，

则有：，解得：，

∴直线AB的解析式为，

设AB的垂直平分线l的解析式为：，

∵直线l过AB的中点为（2，），

∴，解得：，

∴AB的垂直平分线l的解析式为，

①当x=0时，y=，P1（0，），

②当y=0时，x=，P2（，0），

综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．