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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于两点,点在原点的左侧,点的坐标为(),与轴交于),点是直线下方的抛物线上一动点.

1)求这个二次函数的表达式.

2)连结,并把△沿边翻折,得到四边形 那么是否存在点,使四边形为菱形?若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.

3)当点运动到什么位置时,四边形的面积最大并求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

【答案】1y=x2-2x-3;(2)存在,;(3)当点P的坐标为,四边形的面积最大,最大面积是

【解析】

1)将BC的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;.

2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;.

3)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;过Py轴的平行线,交直线BCQ,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出QP的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.

1)将BC两点的坐标代入

,解得

∴二次函数的解析式为y=x22x3

2)存在点P,使四边形POP′C为菱形,

P点坐标为(xx2-2x-3),PP′COE

若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO

连接PP′,则PECOE

.

C0-3),

CO=3

又∵OE=EC

OE=EC=

y=

x2-2x-3=

解得x1=x2=(不合题意,舍去),

∴存在这样的点,此时P点的坐标为

3)过点Py轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设Pxx2-2x-3),

设直线BC的解析式为:y=kx+d

解得:

∴直线BC的解析式为y=x-3

Q点的坐标为(xx-3),

0=x2-2x-3

解得:x1=-1x2=3

AO=1AB=4

S四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×4×3+x2+3x×3

=x2+

x时,四边形ABPC的面积最大,

此时P点的坐标为(),四边形ABPC的面积的最大值为

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如图1,在RtABCRtCDE中,∠ACB=DCE=90°,∠CAB=CDE=45°,点D是线段AB上一动点,连接BE.

填空: 的值为 ;②∠DBE的度数为 .

(2)类比探究

如图2,在RtABCRtCDE中,∠ACB=DCE=90°,∠CAB=CDE=60°,点D是线段AB上一动点,连接BE.请判断的值及∠DBE的度数,并说明理由.

(3)拓展延伸

如面3,在(2)的条件下,将点D改为直线AB上一动点,其余条件不变,取线段DE的中点M,连接BMCM,若AC=2,则当△CBM是直角三角形时,线段BE的长是多少?请直接写出答案.

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【题目】把一枚木质中国象棋子“兵”从一定高度落下,落地后“兵”字面可能朝上,也可能朝下.为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷实验数据如下表:

实验次数

20

60

100

120

140

160

500

1000

2000

5000

“兵”字面朝上次数

14

38

52

66

78

88

280

550

1100

2750

“兵”字面朝上频率

0.7

0.63

0.52

0.55

0.56

0.55

0.56

0.55

0.55

0.55

下面有三个推断:①投掷1000次时,“兵”字面朝上的次数是550,所以“兵”字面朝上的概率是0.55;②随着实验次数的增加,“兵”字面朝上的频率总在0.55附近,显示出一定的稳定性,可以估计“兵”字面上的概率是0.55;③当实验次数为200次时,“兵”字面朝上的频率一定是0.55.其中合理的是______.(填序号①、②、③)

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