Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过Rt△ABC的三个顶点，其中∠ACB=90°，点A坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果将线段OB绕原点O逆时针旋转60°到OD位置，那么点B的对应点D是否会落在该抛物线的对称轴上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ACO≌△CBO，根据相似三角形的性质可得$\frac{AO}{CO}$=$\frac{CO}{BO}$，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线解析式计算出对称轴，再根据等边三角形的判定可得△BOD是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得D点横坐标，进而可得答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠COB=90°，
∴∠CBO+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠ACO，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△ACO≌△CBO，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{CO}{BO}$，
∵点A坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，4），
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{BO}$，
BO=8，
∴B（8，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过C（0，4），
∴c=4，
∵A（-2，0），B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+4}\\{0=64a+8b+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）点B的对应点D不会落在该抛物线的对称轴上．
抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=3，
OB逆时针旋转60°B到D位置，过D作DM⊥BO，
∵DO=BO，
∴△DBO是等边三角形，
∵MD⊥BO，
∴MO=$\frac{1}{2}$BO=4，
∴D点横坐标为4，
∴点D不会落在该抛物线的对称轴上．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，关键是正确计算出B点坐标，利用待定系数法求出解析式．