Question

5．已知点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，AD、BC交于F．
（1）如图1，求证：DE=DB；
（2）如图2，若AD是△ABC外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG=$\frac{1}{2}∠C$，若BG=3，AG=5，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角可以证得∠CAB=∠CBA，然后根据内心的定义即可证得∠1=∠3，从而依据等角对等边即可证得；
（2）连接BD，设DG与BC交于点H，BE和DE相交于点M，连接EH，则证明四边形BHEG是菱形，即可求得GE的长，然后证明△AGE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的长，设BD=x，则DE=x，在直角△ABD中利用勾股定理即可列方程求解．

解答 （1）证明：如图1，∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
又∵E是内心，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∴BE=AE；
（2）解：如图2，连接BD，设DG与BC交于点H，BE和DE相交于点M，连接EH．
∵∠ADB=∠C，∠ADG=$\frac{1}{2}∠C$，
∴∠ADG=∠GDB，
又∵BD=DE，
∴BM=EM，BE⊥DG，即∠BMG=∠BMH=90°，
∵E是内心，
∴∠ABE=∠EBH．
在△GBM和△HBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBM=∠EBH}\\{BM=BM}\\{∠BMG=∠BMH}\end{array}\right.$，
∴△GBM≌△HBM，
∴MG=MH．
又∵ME=MB，BE⊥GH，
∴四边形BHEG是菱形，
∴GE=BG=3，GE∥BC．
∵E是内心，AB是外接圆的直径，
∴AD⊥BC，
∴GE⊥AD，
∴在直角△AGE中，AE=$\sqrt{A{G}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
设BD=x，则DE=x，AD=x+4，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴直角△ABD中，AB²+BD²=AD²，
∴82+x2=（x+4）2，
解得：x=6．
故BD=6．

点评 本题考查了三角形的内心以及圆周角定理，注意到（2）中△ABC应该是等腰三角形是本题的关键．