Question

【题目】（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；

（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）四边形BPEP′是正方形，理由见解析.

【解析】

（1）易证△ABM≌△BCN，再根据角度的关系得到∠APB=90°，即可得到AM⊥BN；

（2）根据旋转的性质及（1）得到四边形BPEP′是矩形，再根据BP= BP′,得到四边形BPEP′是正方形.

（1）AM⊥BN

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°

∵BM=CN，

∴△ABM≌△BCN

∴∠BAM=∠CBN

∵∠CBN+∠ABN=90°，

∴∠ABN+∠BAM=90°，

∴∠APB=90°

∴AM⊥BN．

（2）四边形BPEP′是正方形.

△A′P′B是△APB绕着点B逆时针旋转90所得，

∴BP= BP′,∠P′BP=90.

又由（1）结论可知∠APB=∠A′P′B=90°，

∴∠BP′E=90°.

所以四边形BPEP′是矩形.

又因为BP= BP′,所以四边形BPEP′是正方形.