Question

18．正方形ABCD中，AE∥BD，DE=DB，求证：BF=BE．

Answer 1

分析 先证明四边形AEGO是矩形，得出EG=AO=$\frac{1}{2}$AC，再证AC=DE，得出EG=$\frac{1}{2}$DE，证出∠EDB=30°，求出∠DBE=∠DEB=75°，然后求出∠ABE=30°，证出∠BFE=∠BED，即可得出结论BE=BF．

解答 解：连接AC，作EG⊥BD于G；如图所示：
则∠OGE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC，AC=DB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠EGO=90°，
∵AE∥BD，
∴∠EAO=∠AOB=∠EGO=90°，
∴四边形AEGO是矩形，
∴EG=AO=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BD，BD=DE，
∴AC=DE，
∴EG=$\frac{1}{2}$DE，
∴∠EDB=30°，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB=75°，
∵∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠ABE=30°，
∴∠BFE=180°-75°-30°=75°，
∴∠BFE=∠BED，
∴BE=BF．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；证明四边形是矩形和证明30°的角是解决问题的关键．