【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象,经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点,过点C,D(﹣3,0)的直线与抛物线的另一交点为E.
(1)请你直接写出:
①抛物线的解析式 ;
②直线CD的解析式 ;
③点E的坐标( , );
(2)如图1,若点P是x轴上一动点,连接PC,PE,则当点P位于何处时,可使得∠CPE=45°,请你求出此时点P的坐标;
(3)如图2,若点Q是抛物线上一动点,作QH⊥x轴于H,连接QA,QB,当QB平分∠AQH时,请你直接写出此时点Q的坐标.
【答案】(1)①y=x2﹣4x+3,②y=x+3,③(5,8);(2)P1(1,0),P2(9,0);(3)Q(3+,3+2).
【解析】
(1)①假设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),将A,B代入,即可求出抛物线的解析式;
②设直线CD的解析式为y=kx+b,将C,D代入可得直线CD的解析式;
③联立两个解析式可得E点坐标;
(2)过点E作EH⊥x轴于H,由已知可推出CD=,DE=,EC=,△ECP∽△EPD,由此可得PE2,根据勾股定理可得PH,由此即可求出点P的坐标;
(3)延长QH到M,使得HM=1,连接AM,BM,延长QB交AM于N,设Q(t,t2﹣4t+3),由题意得点Q只能在点B的右侧的抛物线上,则QH=t2﹣4t+3,BH=t﹣3,AH=t﹣1,由此可推出△QHB∽△AHM,据此可得QN⊥AM,当BM=AB=2时,QN垂直平分线段AM,此时QB平分∠AQH,根据勾股定理可得t值,即可推出点Q坐标.
(1)①∵抛物线经过A(1,0),B(3,0),
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
把C(0,3)代入得到a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3;
②设直线CD的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴直线CD的解析式为y=x+3;
③由,解得或,
∴E(5,8),
故答案为:y=x2﹣4x+3,y=x+3,(5,8);
(2)如图1中,过点E作EH⊥x轴于H,
∵C(0,3),D(﹣3,0),E(5,8),
∴OC=OD=3,EH=8,
∴∠PDE=45°,CD=,DE=,EC=,
当∠CPE=45°时,∵∠PDE=∠EPC,∠CEP=∠PED,
∴△ECP∽△EPD,
∴,
∴PE2=ECED=80,
在Rt△EHP中,PH===4,
∴把点H向左或向右平移4个单位得到点P,
∴P1(1,0),P2(9,0);
(3)延长QH到M,使得HM=1,连接AM,BM,延长QB交AM于N,
设Q(t,t2﹣4t+3),由题意得点Q只能在点B的右侧的抛物线上,则QH=t2﹣4t+3,BH=t﹣3,AH=t﹣1,
∴==t﹣3=,
∵∠QHB=∠AHM=90°,
∴△QHB∽△AHM,
∴∠BQH=∠HAM,
∵∠BQH+∠QBH=90°,∠QBH=∠ABN,
∴∠HAM+∠ABN=90°,
∴∠ANB=90°,
∴QN⊥AM,
∴当BM=AB=2时,QN垂直平分线段AM,此时QB平分∠AQH,
在Rt△BHM中,BH===,
∴t=3+,
∴Q(3+,3+2).
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【题目】随着疫情的有效控制我省百大项目之一的哈尔滨地铁“二号线三号线”全面复工修建,建设方通过合理化地施工设计,加大适当的投入来弥补前期耽误的工作量,以保证今年修建目标的实现。修建过程中有大量的残土需要运输。某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次可以运输110吨残土.
(1)求该车队有载重量为8吨、10吨的卡车各多少辆?
(2)随着工程的进展,该车队需要一次运输残土不低于165吨,为了完成任务,该车队准备新购进这两种卡车共6辆,则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆?
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【题目】如图,已知双曲线y=和直线y=-x+2,P是双曲线第一象限上一动点,过P作y轴的平行线,交直线y=-x+2于Q点,O为坐标原点.
(1)求直线y=-x+2与坐标轴围成三角形的周长;
(2)设△PQO的面积为S,求S的最小值.
(3)设定点R(2,2),以点P为圆心,PR为半径画⊙P,设⊙P与直线y=-x+2交于M、N两点.
①判断点Q与⊙P的位置关系,并说明理由;
②求S△MON=S△PMN时的P点坐标.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,6),B(2,0),C(6,0),D为线段BC上的动点,以AD为边向右侧作正方形ADEF,连接CF交DE于点P,则CP的最大值_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数(≠)的图象与反比例函数 ()的图象交于A、B两点,与轴交于C点,点A的坐标为(,6),点C的坐标为(-2,0),且.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)利用图象求不等式:.
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【题目】四张扑克牌的点数分别是2,5,6,8,除点数不同外,其余都相同,将它们洗匀后背面朝上放在桌上
(1)若从中随机抽取一张牌,则抽出的牌的点数是偶数的概率为 ;
(2)若随机抽取一张牌不放回,接着再抽取一张牌,请用列表法或画树状图法(只选其中一种)表示出所有可能出现的结果,并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为A(1,0),等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上,∠ABC=90°,点B在点A的右侧,点C在第一象限.将△ABC绕点A逆时针旋转75°,如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上,那么点C的坐标为_____.
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【题目】我们知道求函数图象的交点坐标,可以联立两个函数解析式组成方程组,方程组的解就是交点的坐标.如:求直线y=2x+3与y=﹣x+6的交点坐标,我们可以联立两个解析式得到方程组,解得,所以直线y=2x+3与y=﹣x+6的交点坐标为(1,5).请利用上述知识解决下列问题:
(1)已知直线y=kx﹣2和抛物线y=x2﹣2x+3,
①当k=4时,求直线与抛物线的交点坐标;
②当k为何值时,直线与抛物线只有一个交点?
(2)已知点A(a,0)是x轴上的动点,B(0,4),以AB为边在AB右侧做正方形ABCD,当正方形ABCD的边与反比例函数y=的图象有4个交点时,试求a的取值范围.
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