Question

【题目】我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线y＝2x+3与y＝﹣x+6的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线y＝2x+3与y＝﹣x+6的交点坐标为（1，5）．请利用上述知识解决下列问题：

（1）已知直线y＝kx﹣2和抛物线y＝x2﹣2x+3，

①当k＝4时，求直线与抛物线的交点坐标；

②当k为何值时，直线与抛物线只有一个交点？

（2）已知点A（a，0）是x轴上的动点，B（0，4），以AB为边在AB右侧做正方形ABCD，当正方形ABCD的边与反比例函数y＝的图象有4个交点时，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①（1，2），（5，18）；②k＝﹣2；（2）a的取值范围是a＞2或﹣16＜a＜﹣4

【解析】

（1）①由题意得：，解得，，即可求解；

②利用△＝0，即可求解；

（2）分a＞0、a＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．

解：（1）①由题意得：，解得，，

∴直线与抛物线的交点坐标是（1，2），（5，18）；

②联立两个函数并整理得：x2﹣（k+2）x+5＝0，

△＝（﹣k﹣2）2﹣4×5＝0，

解得：k＝﹣2；

（2）①当a＞0时，如图1，

点A、B的坐标分别为：（a，0）、（0，4），

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+4，

当线段AB与双曲线有一个交点时，

联立AB表达式与反比例函数表达式得：﹣x+4＝，

整理得：4x2﹣4ax+2a＝0，

△＝（﹣4a）2﹣16×2a＝0，解得：a＝2，

故当a＞2时，正方形ABCD与反比例函数的图象有4个交点；

②当a＜0时，如图2，

（Ⅰ）当边AD与双曲线有一个交点时，

过点D作ED⊥x轴于点E，

∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAO，

∵AB＝AD，∠AOB＝∠DEA＝90°，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴ED＝AO＝﹣a，AE＝OB＝4，

故点D（a+4，a），

由点A、D的坐标可得，直线AD的表达式为：y＝a（x﹣a），

联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2﹣a2x﹣16＝0，

△＝（﹣a2）2﹣4a×（16）＝0，解得：a＝﹣4（不合题意值已舍去）；

（Ⅱ）当边BC与双曲线有一个交点时，

同理可得：a＝﹣16，

所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：﹣16＜a＜﹣4；

综上所述，a的取值范围是a＞2或﹣16＜a＜﹣4．