【题目】如图，在ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6cm，点M从点A出发沿AB方向以每秒一个单位长的速度向点B匀速运动，与此同时点N也从点A出发沿AC方向以相同的速度向点C匀速运动，过点N作DN∥AB，交BC于点D，连接MD，设运动的时间是t秒(
).
(1)填空：
____________；
(2)是否存在某一时刻，使得四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积比为4：9，若存在求
值，若不存在请说明理由；
(3)当为何值时，ΔMND为等腰三角形?请直接写出符合条件的值.
【答案】(1) 
;(2) 2s或4s;(3)见解析.
【解析】
（1）由∠BAC=120°，AB=AC=6cm，可以得到ΔBAC为等腰三角形，并且
，高是
，通过
计算即可.
（2）作AE⊥MN于E，MF⊥BC于点F，则可以通过求证四边形MBDN是平行四边形，得出AE，MN，MF的长，并根据四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积的比为4：9，
则
，化简即可得.
（3）当ΔMND为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当MD=MN时，②当ND=MN时，③当MD=ND时，利用（1）和（2）中的已知和已证条件求解.
解：(1) ∵∠BAC=120°，AB=AC=6cm，
∴ΔBAC为等腰三角形，
∴∠B=30°
∴
.
(2)依题意，得
AM=AN=t
∴∠AMN=∠ANM=30°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∴∠AMN∠B
∴NN∥BC
∵ND∥BM
∴四边形MBDN是平行四边形(另法：证明DN∥BM，DN=BM也可)
作AE⊥MN于E
∴ME=NE=
MN
∵∠AME=30°
∴AE=AM=t，ME=
AE=
∴MN=2ME=
作MF⊥BC于点F，∠B=30°
∴MF=BM=
若四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积的比为4：9，
则
即：
∴
，
故当t=2s或4s时，四边形MBON的面积与三角形ABC的面积的比为4：9.
(3)
由（1）可知：ΔBAC为等腰三角形，∠B=30°，
∵DN∥AB
∴ΔDNC为等腰三角形，
∴CN=DN=6-t，
由（2）可知：MN=，NN∥BC
∴∠MND=∠NDC=30°
①如图示，当MD=MN时，ΔMND为等腰三角形，
∴
即：
∴
②如图示，当ND=MN时，ΔMND为等腰三角形，
即：
∴
③如图示，当MD=ND时，ΔMND为等腰三角形，
∴
即：
∴
.
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
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【题目】在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，
请根据上述条件，写出一个正确结论
”其中四位同学写出的结论如下：
小青：
；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：
；小雨：
．
这四位同学写出的结论中不正确的是
A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
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【题目】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段
的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区
（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
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【题目】在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到的球是红球的概率为
.
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，利用树状图或刘表格求两次摸到球的颜色是红色与黄色的概率.
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【题目】如图，AC是ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EFEG；
（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．
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【题目】如图，已知直线
与抛物线
相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。
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【题目】如果关于x的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程
是倍根方程；
②若
是倍根方程，则
；
③若点
在反比例函数
的图像上，则关于
的方程
是倍根方程；
④若方程
是倍根方程，且相异两点
， 
都在抛物线
上，则方程
的一个根为
．
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