Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH=EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝SABCD+SABCD＝SABCD，再根据E、G分别是OA、CD中点，可得S△CEG＝S△CDE＝SABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．

解：如图，连接FG，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD

∵BD＝2AD

∴OD＝AD

∵点E为OA中点

∴ED⊥CA，故①正确；

∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，

∴EF∥AB，EF＝AB，S△OEF＝S△AOB，

∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD

∴EG＝CD

∴EF＝EG，故②正确；

∵EF∥CD，EF＝DG

∴四边形DEFG是平行四边形

∴EH＝HG

即，故③正确；

∵S△AOB＝S△AOD＝SABCD，S△ACD＝SABCD，

∴S△OEF＝SABCD，

∵AE＝OE

∴S△ODE＝S△AOD＝SABCD，

∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝SABCD+SABCD＝SABCD，

∵

∴CE＝AC

∴S△CDE＝S△ACD＝SABCD，

∵CG＝DG

∴S△CEG＝S△CDE＝SABCD，

∴S△EFD＝S△CEG，故④正确；

故选：D．