【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线.
(2)如果⊙O的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)连接OD,AB为⊙O的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;
(2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.
试题解析:(1)证明:连结OD
∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO
又AB=AC
∴∠DBO=∠C
∴∠ODB =∠C
∴OD ∥AC
又DE⊥AC
∴DE ⊥OD
∴EF是⊙O的切线.
(2)∵AB是直径
∴∠ADB=90 °
∴∠ADC=90 °
即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °
∴∠1=∠C
∴∠1 =∠3
∴
∴
∴AD=8
在Rt△ADB中,AB=10∴BD=6
在又Rt△AED中,
∴
设BF=x
∵OD ∥AE
∴△ODF∽△AEF
∴ ,即,
解得:x=
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【题目】南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向海里的C处,为了防止某国还巡警干扰,就请求我A处的鱼监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
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【题目】如图,一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上,小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°,然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处,这时,PC=30 m,点C与点A恰好在同一水平线上,点A、B、P、C在同一平面内。
(1)求居民楼AB的高度;
(2)求C、A之间的距离。(精确到0.1m,参考数据: )
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【题目】高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施.某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计,制成了如下两幅不完整的统计图:
(1)该校近四年保送生人数的极差是 .请将折线统计图补充完整;
(2)该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学,学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况.请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.
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【题目】某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演,每班2个节目,有歌唱与舞蹈两类节目,年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.
(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个?
(2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟,预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从20:00开始,22:30之前演出结束,问参与的小品类节目最多能有多少个?
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【题目】如图AB为⊙O的直径,C为⊙O上半圆的一个动点,CE⊥AB于点E,∠OCE的角平分线交⊙O于D点.
(1)当C点在⊙O上半圆移动时,D点位置会变吗?请说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,弦AC的长为6,连接AD,求线段AD、CD的长.
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【题目】4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
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