Question

【题目】如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．

（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；

（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．

Answer 1

【答案】（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；理由见解析；（2）线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．

【解析】

（1）连接OD．根据角平分线的性质得到∠1=∠3，根据原点半径相等得到OC=OD，根据等边对等角得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠3，即可判定CE∥OD，

又CE⊥AB，则OD⊥AB，根据垂径定理可知点D为半圆AB的中点．

（2）在直角△AOD中，OA=OD=5，根据勾股定理即可求出过点A作CD的垂线，垂足为G，根据圆周角定理得到即可求出在直角△AGD中，即可求出CD的长.

（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；

理由如下：连接OD．

∵CD平分∠OCE，

∴∠1=∠3，

而OC=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴CE∥OD，

∵CE⊥AB，

∴OD⊥AB，

∴=,即点D为半圆AB的中点．

（2）∵在直角△AOD中，OA=OD=5，

∴

过点A作CD的垂线，垂足为G，

∵

∴△AGC是等腰直角三角形，

∵AC=6，

∴

在直角△AGD中，

∴

∴线段AD的长度为，线段CD的长度为．