Question

11．如图：D在△ABE内部，点C在AE上，AD交BE于P，DC交BE于F，∠ABD=∠ACD，∠PDB=∠PDC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=3，AE=5，求BP：PE的值．

Answer 1

分析 （1）由∠PDB=∠PDC，根据邻补角的定义得到∠ADB=∠ADC，推出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过B作BG∥AE交AP的延长线于G，于是得到∠EAP=∠G，由于∠BAD=∠CAD，等量代换得到∠BAD=∠G，求出AB=BG=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠PDB=∠PDC，
∴180°-∠PDB=180°-∠PDC，
即：∠ADB=∠ADC，
在△ABD与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC；

（2）解：过B作BG∥AE交AP的延长线于G，
∴∠EAP=∠G，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠G，
∴AB=BG=3，
∵BG∥AE，
∴△BPG∽△APE，
∴$\frac{BG}{AE}=\frac{PB}{PE}$=$\frac{3}{5}$；

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．