Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：∠PCE=∠PEC；
（2）若AB=10，ED=$\frac{3}{2}$，sinA=$\frac{3}{5}$，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；
（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=$\frac{5}{2}$，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=$\frac{11}{4}$，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．

解答 解：（1）∵PC是圆O的切线，
∴∠PCA=∠B．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠A+∠B=90°．
∵PD⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°．
∴∠AED=∠B．
∵∠PEC=∠AED，
∴∠PCE=∠PEC．
（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．

∵AB=10，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•$\frac{3}{5}$=6．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8．
∵DE=$\frac{3}{2}$，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$．
∴EC=AC-AE=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$．
∵PC=PE，PF⊥EC，
∴EF=$\frac{1}{2}EC=\frac{11}{4}$．
∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，
∴△AED∽△PEF．
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{PE}{EF}$，$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{EP}{\frac{11}{4}}$．
解得：EP=$\frac{55}{12}$．
∴PC=$\frac{55}{12}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．