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【题目】我们规定:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称这个三角形为智慧三角形

理解:

1)如图1,已知AB是⊙O上两点,请在圆上找出满足条件的点C,使ABC智慧三角形(画出点C的位置,保留作图痕迹);

2)如图3,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,点Q是直线y3上的一点,若在⊙O上存在一点P,使得OPQ智慧三角形,当其面积取得最小值时,直接写出此时PQ的长和点Q的坐标

【答案】1)见解析;(2Q(0,3)

【解析】

1)连结BO并且延长交圆于C1,连结AO并且延长交圆于C2,即可求解;

2)根据智慧三角形的定义可得△OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,从而得到点Q坐标,再根据勾股定理可求另一条直角边即PQ长.

解:(1)如图所示,过直径做△ABC即可;

2)如图所示:

智慧三角形的定义可得△OPQ为直角三角形,

根据题意可得一条直角边OP1

PQ最小时,△POQ的面积最小,

根据勾股定理可知,当斜边OQ最短时,PQ最小,面积取得最小值,

由垂线段最短可得斜边最短为3,即OQ=3

Q03),

由勾股定理可得PQ

∴当面积取得最小值时,点Q的坐标为(03)PQ的长为.

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