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【题目】已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1,且m≠0

1)求抛物线的顶点坐标;

2)试说明抛物线与直线有两个交点;

3)已知点Tt0),且-1≤t≤1,过点Tx轴的垂线,与抛物线交于点P,与直线交于点Q,当0m≤3时,求线段PQ长的最大值.

【答案】1)(-1-1);(2)见解析;(3PQ的最大值为6.

【解析】

1)化为顶点式即可求顶点坐标;

2)由y=mx2+2mx+m-1y=mx+m-1可得:mx2+2mx+m-1=mx+m-1,整理得,mxx+1=0,即可知抛物线与直线有两个交点;

3)由(2)可得:抛物线与直线交于(-1-1)和(0m-1)两点,点P的坐标为(tmt2+2mt+m-1),点Q的坐标为(tmt+m-1). 故分两种情况进行讨论:①如图1,当-1≤t≤0时;②如图2,当0t≤1时,求出对应的最大值即可.

解:(1)∵y=mx2+2mx+m-1=mx+12-1

∴抛物线的顶点坐标为(-1-1).

2)由y=mx2+2mx+m-1y=mx+m-1可得:mx2+2mx+m-1=mx+m-1

mx2+mx=0mxx+1=0

m≠0

x1=0x2=-1

∴抛物线与直线有两个交点.

3)由(2)可得:抛物线与直线交于(-1-1)和(0m-1)两点,

P的坐标为(tmt2+2mt+m-1),点Q的坐标为(tmt+m-1).

①如图1,当-1≤t≤0时,PQ==

m0

时,PQ有最大值,且最大值为

0m≤3,∴,即PQ的最大值为

②如图2,当0t≤1时,PQ==

m0

∴当t=1时,PQ有最大值,且最大值为2m

0m≤3

02m≤6,即PQ的最大值为6

综上所述,PQ的最大值为6

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②以 A 为圆心,AO 为半径作圆,交⊙O 于点 M

③作直线 PM,则直线 PM 即为⊙O 的切线.

根据小芸设计的尺规作图过程,

1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

2)完成下面的证明:

证明:连接 OM

由作图可知,A OP 中点,

OP 为⊙A 直径,

∴∠ 90°( )(填推理的依据)

OMPM

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PM 是⊙O 的切线.( )(填推理的依据)

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在综合与实践课上,同学们以三角形的折叠为主题开展数学活动.

操作发现

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实践探究

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深入探究

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