Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，cos∠ABC＝，sin∠ACB＝，AC＝2，分别以AB，AC为边向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF，点M是EF的中点，连接AM，则△AEF的面积为_____，AM的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先过F作AE的平行线交AM的延长线于H，得出△FHM≌△EAM，根据全等得出对应边相等，再利用平行和圆周角等相关角度转化得到△AFH≌△BAC，得出求△AEF的面积即是求△BAC的面积．过点A作BC的垂线交BC于P，根据题目中的条件可以算出BC、AP的长度，从而算出面积．再根据全等得出AH与BC相等，从而算出AM的长度．

解：如图，过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，则∠HFM＝∠AEM，∠H＝∠EAM，

∵点M是EF的中点，

∴FM＝EM，

∴△FHM≌△EAM（AAS），

∴AE＝FH＝AC，AM＝MH＝AH，

∵四边形ABCF是正方形，

∴AF＝BA，

∵∠AFH+∠FAE＝180°，∠CAB+∠HFA＝180°，

∴∠AFH＝∠BAC，

在△AFH和△BAC中， ，

∴△AFH≌△BAC（SAS），

∴AH＝BC＝2AM，

即AM＝ BC，

如图，过A作AP⊥BC于P，

∵cos∠ABC＝ ，sin∠ACB＝，AC＝2，

∴AP＝AC×sin∠ACB＝2×＝，CP＝AC＝1，∠BAP＝45°＝∠ABP，

∴BP＝AP＝，

∴BC＝+1，

∴△AEF的面积＝△ABC的面积＝×（+1）＝；

∴AM＝BC＝，

故答案为：；．