Question

12．在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（　　）

• A． 1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1
• C． 1：2：3
• D． 3：2：1

Answer 1

分析 根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．

解答 解：如图1所示，
在正三角形ABC中连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
故BC=2BD=$\sqrt{3}$R；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
故BC=$\sqrt{2}$R；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=$\frac{1}{2}$R，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为$\sqrt{3}$R：$\sqrt{2}$R：R=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1．
故选：B．

点评 本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质；根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．