Question

4．如图：抛物线y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（x₁，0）、B（2，0），交y轴正半轴于C，且OA=OC．下列结论①$\frac{a-b}{c}$＞0；②ac=b-1；③a=-$\frac{1}{2}$；④2b+c=2，其中正确的是②③④．

Answer 1

分析 首先根据图象判断a＞0，c＞0，b＞0，即可判断$\frac{a-b}{c}$＜0，由OB=OC进而用c表示出点B的坐标，把点B坐标代入方程得到ac²-bc+c=0，进而得到ac=b-1，A（-c，0），B（2，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，于是-2c=$\frac{c}{a}$，则可求得a=-$\frac{1}{2}$，根据b=ac+1，a=-$\frac{1}{2}$，则2b+c=2（-$\frac{1}{2}$c+1）+c=2．据此选择出正确答案．

解答 解：据图象可知a＜0，c＞0，b＞0，
∴$\frac{a-b}{c}$＜0，故①错误；
∵OB=OC，
∴OB=c，
∴点A坐标为（-c，0），
∴ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，
∴ac=b-1，故②正确；
∵A（-c，0），B（2，0），抛物线线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-c，0）和B（2，0）两点，
∴2•（-c）=$\frac{c}{a}$，
∴-2=$\frac{1}{a}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，故③正确；
∵ac-b+1=0，
∴b=ac+1，a=-$\frac{1}{2}$，
∴2b+c=2（-$\frac{1}{2}$c+1）+c=2，
即2b+c=2，故④正确；
综上正确的有②③④，
故答案为②③④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．