Question

20．已知，如图，△ABC中，AD⊥BC于D，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠C=30°，AD=3．求△ABC的周长．

Answer 1

分析 先在Rt△ABD中根据∠B的正弦可计算出AB=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，再利用勾股定理可计算出BD=3，然后在Rt△ADC中，利用∠C的正弦可计算出AC=6，则根据勾股定理可计算出CD=3$\sqrt{3}$，然后根据三角形周长的定义求解．

解答 解：在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}$=3，
在Rt△ADC中，∵sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC=$\frac{3}{sin30°}$=6，
∴CD=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=3+3$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3$\sqrt{2}$+6+3+3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+9．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义．