Question

18．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CE=x
（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（2）由（1）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

解答 解：连接AE交BD于C，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
∵四边形BDEF是矩形，
BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=5+1=6，
AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=10，
∴AC+CE的最小值是10；
（2）∵$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$，
如图2所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=$\sqrt{A{F}^{2}+EF}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
即$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$的最小值为13．
故代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值为13．

点评 此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如$\sqrt{{x}^{2}+4}$的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．