Question

7．如图，正比例函数的图象与x轴正方向所成角为α，若它与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于第一、三象限的点B，D．
（1）若已知点A（-m，0），C（m，0），则不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）若已知点A（-m，0），C（m，0），当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，则p=$\sqrt{3}$，m=2；
（3）若点B为（p，1）时，要使四边形ABCD是菱形，则A、C所在直线解析式为y=-$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 （1）由正比例函数与反比例函数均关于原点对称，可得OB=OD，又由OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）由点B为（p，1），代入反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可求得p的值；然后由当AC=BD时，即OB=OD=OA=OC时，?ABCD是矩形，求得m的值；
（3）由点B为（p，1），可求得α的值，继而求得A、C所在直线与y轴的夹角，继而求得直线AC上点的坐标，则可求得答案．

解答 解：（1）∵正比例函数与反比例函数均关于原点对称，
∴点B与点D关于原点对称，
∴OB=OD，
∵点A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC，
∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；

（2）∵点B为（p，1），
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
解得：p=$\sqrt{3}$；
∴OB=$\sqrt{{1}^{2}+（{\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
∵当AC=BD时，即OB=OD=OA=OC时，?ABCD是矩形，
∴m=2；

（3）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点B为（p，1），
∴点B的坐标为：（$\sqrt{3}$，1），
∴tanα=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=30°，
∵当AC⊥BD时，?ABCD是菱形，
设点F在直线AC上，过点F作FH⊥x轴于点H，
∴∠FOH=60°，
设点F的坐标为：（1，-$\sqrt{3}$），
设直线AC的解析式为：y=kx，
则-$\sqrt{3}$=k，
∴直线AC的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x．
故答案为：（1）平行四边形，（2）$\sqrt{3}$，2，（3）y=-$\sqrt{3}$x．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、点与函数图象的关系、平行四边形的判定与性质、矩形与菱形的判定．注意第三问中，求得直线AC上一点的坐标是关键．