【题目】综合与实践：折纸中的数学
问题背景
在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．
操作发现
(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？
实践探究
(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？
(3)再探究：在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．
【答案】（1）矩形ABCD的长、宽之比为
；（2）四边形EFGB′是平行四边形，理由详见解析；（3）△BB′G为直角三角形，理由详见解析．
【解析】
（1）矩形
的长、宽之比应是．设
，根据等边三角形的性质可得出
，根据矩形的性质可得出
，
，再根据特殊角的三角函数值即可得出
，
，结合边与边之间的关系即可得出
；
（2）四边形
是平行四边形．根据矩形的性质可得出
，从而得出相等的内错角“
，
，
”，再由翻折的性质可得出
，
，由此即可得出
，从而找出
，由两组对边互相平行即可证出四边形是平行四边形；
（3）△
为直角三角形．连接
交
于点
，根据平行线的性质可得出
，由翻折的性质可得出
，从而可得出
，再由等腰三角形的性质可得出
，根据平行线的性质即可得出
，由此即可证出△为直角三角形．
解：（1）矩形的长、宽之比应是．
证明：设，
等边三角形，
，
四边形为矩形，
，
．
在
中，
，，，
，
，
，
，
．
（2）四边形是平行四边形．
证明：四边形为矩形，
，
，，
．
由翻折的特性可知：，，
，
，
又
，
，
，
又
，
四边形是平行四边形．
（3）△为直角三角形．
证明：连接交于点，如图所示．
，
，
，
，
．
，
△
为等腰三角形，
，
．
，
，
△为直角三角形．
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【题目】已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（ ）
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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【题目】为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a= ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
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【题目】如图，一次函数
的图像与反比例函数
(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝
的图象交于A，B两点，过点B作BE⊥x轴于点E，已知A点坐标是(2，4)，BE＝2．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
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【题目】已知关于x的一元二次方程
。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
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【题目】如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F．连接EC交BD于点G．取DF的中点H，并连接AH．若AH=
，EG=
，则四边形AEFH的面积为___．
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=
，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合）， 过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为________ ．
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【题目】如图，以正方形
的顶点
为坐标原点，直线
为
轴建立直角坐标系，对角线
与
相交于点
，
为
上一点，点坐标为
，则点绕点顺时针旋转90°得到的对应点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
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