Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F．连接EC交BD于点G．取DF的中点H，并连接AH．若AH=，EG=，则四边形AEFH的面积为___．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N．证明△ADH≌△CDH，得到AH=CH=，证明四边形AMND是矩形，得到AM=DN，进而得到EM=HN，

证明Rt△HME≌Rt△CNH，得到∠MHE=∠HCN，设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，根据EF∥HM，得到=，进而得到HM=7a，进而求出S四边形AEFH

，在Rt△BEC中，根据勾股定理得到16a2+100a2=4，即可求出的值，进而得到四边形AEFH的面积.

如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°，

∵DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴AH=CH=，

∵EF⊥AB，HM⊥AB，DA⊥AB，

∴EF∥HM∥AD，

∵HF=HD，

∴AM=EM，

∴HA=HE=HC，

∵∠AMN=∠DAM=∠ADN=90°，

∴四边形AMND是矩形，

∴AM=DN，

由题可证得DN=HN，

又∵AM=EM，

∴EM=HN，

∴Rt△HME≌Rt△CNH（HL），

∴∠MHE=∠HCN，

∵∠HCN+∠CHN=90°，

∴∠MHE+∠CHN=90°，

∴∠EHC=90°，

∴EC=HE=2，

∵EG=，

∴GC=2–=，

∵EF∥BC，

∴==，

设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，

∵EF∥HM，

∴=，

∴=，

∴HM=7a，

∴S四边形AEFH=S△AMH+S梯形EFHM=×3a×7a+（4a+7a）×3a=27a2，

在Rt△BEC中，

∵BE2+BC2=EC2，

∴16a2+100a2=4，

∴a2=，

∴S四边形AEFH=．

故答案为:．